8次多項式の Galois 群 $ \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q}) \cong \mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_7) $ の完全証明と詳細解説

本ドキュメントは、多項式の Galois 群が射影一次変換群に同型となることの完全な数学的証明と、基礎概念からのセルフコンテインドな解説をまとめたものである。

第 1 節：数学的概念の基礎と定義

本証明を理解するために必要となる基本的な代数学・代数的数論・幾何学の概念を、厳密な集合と写像の言葉で定義し、直観を助ける具体例を併記する。

定義 1 （多項式の Galois 群）

$ K $ を体（特に有理数体 $ \mathbb{Q} $ ）とし、$ f(x) \in K[x] $ を $ n $ 次の分離多項式とする。$ f(x) $ の $ K $ 上の最小分解体 (splitting field) を $ L $ とし、$ f(x) $ の相異なる $ n $ 個の根の集合を $ \Omega = \{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\} \subset L $ とする。

このとき、拡大 $ L/K $ の Galois 群 (Galois group) を $ \mathrm{Gal}(L/K) $ で表す。各 $ \sigma \in \mathrm{Gal}(L/K) $ は根の集合 $ \Omega $ 上の全単射（置換）を引き起こすため、自然な単射群同型射

$$ \Phi : \mathrm{Gal}(L/K) \to S_n, \quad \sigma \mapsto \begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \dots & \alpha_n \\ \sigma(\alpha_1) & \sigma(\alpha_2) & \dots & \sigma(\alpha_n) \end{pmatrix} $$

が存在する。この同型により、$ G = \mathrm{Gal}(L/K) $ は $ \Omega $ 上の忠実な作用を持つ対称群 $ S_n $ の部分群とみなされる。

定義 2 （群作用の推移性と $ k $ 重推移性）

群 $ G $ が有限集合 $ \Omega $ 上に作用しているとする。

  • 任意の $ \alpha, \beta \in \Omega $ に対して、ある $ \sigma \in G $ が存在して $ \sigma(\alpha) = \beta $ となるとき、$ G $ の作用は推移的 (transitive) であるという。
  • 一般に正整数 $ k \le |\Omega| $ について、$ \Omega $ の相異なる $ k $ 個の元の順序組全体の集合を $ \Omega^{(k)} $ とおく。$ G $ が $ \Omega^{(k)} $ 上に対角作用によって推移的に作用するとき、$ G $ の作用は $ k $ 重推移的 ($ k $-transitive) であるという。
  • 特に、任意の相異なる $ k $ つの組から別の任意の相異なる $ k $ つの組への移し替えを行う $ \sigma \in G $ が一意的に存在するとき、作用は鋭意 $ k $ 重推移的 (sharply $ k $-transitive) であるという。

定理 1 （軌道・安定化群定理と $ k $ 重推移群の位数）

有限群 $ G $ が有限集合 $ \Omega $ に作用しているとする。元 $ x \in \Omega $ の軌道 (orbit) を $ \mathrm{Orb}_G(x) = \{\sigma(x) \mid \sigma \in G\} $、安定化部分群 (stabilizer) を $ G_x = \mathrm{Stab}_G(x) = \{\sigma \in G \mid \sigma(x) = x\} $ とおくと、次が成り立つ：

$$ |G| = |\mathrm{Orb}_G(x)| \cdot |G_x| $$

系として、$ G $ が $ n $ 元集合 $ \Omega $ 上に $ k $ 重推移的に作用しているならば、$ G $ の位数は

$$ |G| = n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1) \cdot |G_{x_1, x_2, \dots, x_k}| $$

の形となり、特に $ n(n-1) \cdots (n-k+1) $ の倍数となる。ここで $ G_{x_1, \dots, x_k} $ は $ k $ 点の各点固定部分群 (pointwise stabilizer) である。

定義 3 （Frobenius のサイクル原理）

$ f(x) \in \mathbb{Z}[x] $ をモニックかつ相異なる複素根を持つ整数係数多項式とし、$ D = \mathrm{Disc}(f) $ をその判別式とする。$ p $ を $ D $ を割り切らない素数（素因数分解において不分岐な素数）とする。

$ f(x) \pmod p \in \mathbb{F}_p[x] $ が $ \mathbb{F}_p $ 上で互いに素な既約多項式の積に分解するとき：

$$ f(x) \equiv f_1(x) f_2(x) \cdots f_r(x) \pmod p, \quad \deg(f_i) = d_i \quad (d_1 + d_2 + \dots + d_r = n) $$

このとき、Galois 群 $ G = \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q}) \subset S_n $ は、置換の輪換分解における長さが $ (d_1, d_2, \dots, d_r) $ となる元（Frobenius 置換）を含む。

例 1 （Frobenius のサイクル原理の適用例）

3 次多項式 $ g(x) = x^3 - x - 1 \in \mathbb{Q}[x] $ を考える。判別式は $ \mathrm{Disc}(g) = -23 $ である。

  • $ p = 2 $ のとき、$ g(x) \equiv x^3 + x + 1 \pmod 2 $ は $ \mathbb{F}_2 $ 上既約である（根を持たず 3 次以下のため）。ゆえに $ G $ は 3 輪換 $(1\,2\,3)$ を含む。
  • $ p = 5 $ のとき、$ g(x) \equiv (x - 2)(x^2 + 2x + 3) \pmod 5 $ と分解し、$ x^2 + 2x + 3 $ は $ \mathbb{F}_5 $ 上既約である。ゆえに $ G $ は 2 輪換（互換） $(1\,2)$ を含む。

3 輪換と互換を含む $ S_3 $ の部分群は $ S_3 $ 全体のみであるため、$ \mathrm{Gal}(g/\mathbb{Q}) \cong S_3 $ であることがわかる。

定義 4 （判別式・ Sylvester 行列・ Bareiss の消去法）

モニック多項式 $ f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 $ の判別式 $ \mathrm{Disc}(f) $ は、根の差の自乗積 $ \prod_{1 \le i < j \le n} (\alpha_i - \alpha_j)^2 $ であり、終結式 (resultant) を用いて次のように表される：

$$ \mathrm{Disc}(f) = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \mathrm{Res}(f, f') $$

ここで $ f' $ は $ f $ の形式的微分である。2つの多項式 $ f, g $ の終結式 $ \mathrm{Res}(f, g) $ は、それらの係数から作られる Sylvester 行列 (Sylvester matrix) の行列式として定義される。Bareiss の消去法 (Bareiss algorithm) は、分数計算を排除して整数環の範囲内で効率的に行列式を計算するアルゴリズムであり、漸化式

$$ M_{i, j}^{(k)} = \frac{M_{k, k}^{(k-1)} M_{i, j}^{(k-1)} - M_{i, k}^{(k-1)} M_{k, j}^{(k-1)}}{M_{k-1, k-1}^{(k-2)}} $$

によってピボットを順次新しく更新する。

第 2 節：対象多項式の性質と Galois 群の位数の下限

解説対象の 8 次多項式は以下で与えられる：

$$ f(x) = x^8 - x^7 + 3x^6 - 3x^5 + 2x^4 - 2x^3 + 5x^2 + 5x + 1 \in \mathbb{Q}[x] $$

$ f(x) $ の根を $ \Omega = \{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_8\} \subset \mathbb{C} $ とし、最小分解体を $ L = \mathbb{Q}(\alpha_1, \dots, \alpha_8) $、Galois 群を $ G = \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q}) \subset S_8 $ とする。

1. 判別式の不変計算

$ f(x) $ の次数は $ n = 8 $ であるため、$ \mathrm{Disc}(f) = (-1)^{\frac{8 \times 7}{2}} \mathrm{Res}(f, f') = \mathrm{Res}(f, f') $ である。

$ f'(x) = 8x^7 - 7x^6 + 18x^5 - 15x^4 + 8x^3 - 6x^2 + 10x + 5 $ であり、$ f $ の 7 つのシフトと $ f' $ の 8 つのシフトからなる 15 次 Sylvester 行列に対して、分数不使用 Bareiss 消去法を適用する。行の交換を行うことなく得られる各ステップのピボット $ k $ の値の計算を進めると、最終ピボット値から終結式が求まる。

計算結果より、判別式の正確な値は次のように確定する：

$$ \mathrm{Disc}(f) = \mathrm{Res}(f, f') = 53^5 $$

判別式は正であるが、$ 53^5 $ は $ \mathbb{Q} $ 上で完全平方数ではない。したがって、$ G $ は交代群 $ A_8 $ の部分群ではなく、奇置換を含むため指数 2 の部分群 $ G \cap A_8 $ を持つ。

2. 有限体上の既約判定基準と素数モジュロ分解

補題 1 （有限体上の既約判定基準）

モニック多項式 $ h(x) \in \mathbb{F}_p[x] $ の次数を $ d $ とする。$ h(x) $ が $ \mathbb{F}_p $ 上既約であるための必要十分条件は、以下の 2 条件がともに満たされることである：

  1. $ h(x) \mid (x^{p^d} - x) $
  2. $ d $ の任意の素因数 $ q $ に対して、$ \gcd(h(x), x^{p^{d/q}} - x) = 1 $

(i) 素数 $ p = 2 $ における分解

モジュロ 2 で多項式を還元すると、

$$ f(x) \equiv x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^2 + x + 1 \pmod 2 $$

次数 $ d = 8 $ の素因数は $ q = 2 $ のみである。連続自乗法により $ \mathbb{F}_2[x] / (f(x)) $ 内で計算を行うと：

$$ x^2 \pmod{f(x)}, \quad x^4 \pmod{f(x)}, \quad x^8 \pmod{f(x)}, \quad \dots, \quad x^{2^8} \equiv x \pmod{f(x)} $$

が得られる。一方、$ x^{2^4} - x = x^{16} - x $ との最大公約数を Euclidean の互除法で計算すると、$ \gcd(f(x), x^{16} - x) = 1 $ となる。補題 1 より、$ f(x) \pmod 2 $ は $ \mathbb{F}_2[x] $ 上で既約である。

結論： Frobenius サイクル原理より、$ G $ は 8 輪換を含む。8 輪換を含むことから、$ G $ は $ \Omega $ 上で推移的 (transitive) である。

(ii) 素数 $ p = 11 $ における分解

モジュロ 11 で多項式を還元すると、以下のように 1 次因子と 7 次因子に分解される：

$$ f(x) \equiv (x + 10) (x^7 + 3x^5 + 2x^3 + 5x + 10) \pmod{11} $$

7 次因子を $ g_7(x) = x^7 + 3x^5 + 2x^3 + 5x + 10 $ とおく。$ d = 7 $ は素数であるため、唯一の素因数は $ q = 7 $ である。冪乗計算と互除法により $ g_7(x) $ が $ \mathbb{F}_{11} $ 上既約であることが確かめられる。

結論： $ G $ は 1 点を固定し、残りの 7 点を全単射に移す 7 輪換を含む。すでに $ G $ は推移的であるから、1 点固定部分群が残りの 7 点上で推移的となり、$ G $ は 2 重推移的 (2-transitive) である。

(iii) 素数 $ p = 31 $ における分解

モジュロ 31 では、$ f(x) $ は 2 つの 1 次因子と 1 つの 6 次因子に分解する：

$$ f(x) \equiv (x + 21)(x + 23)(x^6 + 17x^5 + 12x^4 + 3x^2 + 21x + 19) \pmod{31} $$

6 次因子 $ g_6(x) = x^6 + 17x^5 + 12x^4 + 3x^2 + 21x + 19 $ について、$ d = 6 $ の素因数は $ q = 2, 3 $ である。$ \mathbb{F}_{31}[x] $ 上での既約判定アルゴリズムにより、$ g_6(x) $ は既約であることが確認される。

結論： $ G $ は 2 点を固定し、残りの 6 点上で推移的に作用する 6 輪換を含む。$ G $ は 2 重推移的であるため、任意の相異なる 2 点の固定部分群は互いに共役であり、その中に 6 輪換が含まれる。ゆえに $ G $ は 3 重推移的 (3-transitive) である。

3. Galois 群の位数の倍数性

定理 1 （軌道・安定化群定理の系）より、$ G $ が 8 元集合 $ \Omega $ 上に 3 重推移的に作用することから、$ G $ の位数は

$$ |G| = 8 \times 7 \times 6 \times |G_{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3}| = 336 \cdot |G_{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3}| $$

となり、特に $ |G| $ は 336 の倍数であり、$ |G| \ge 336 $ であることが結論付けられる。

第 3 節：分割リゾルベント方程式の構成と厳密分解

1. 分割の集合 $ \mathcal{P} $ の定義

根の集合 $ \Omega = \{\alpha_1, \dots, \alpha_8\} $ を、大きさ 4 の 2 つの部分集合へ分割する『順序付けられていない分割 (unordered partition)』全体の集合を $ \mathcal{P} $ とする：

$$ \mathcal{P} = \{ \{A, B\} \mid A \cup B = \Omega, \ A \cap B = \varnothing, \ |A| = |B| = 4 \} $$

組み合わせ論より、集合 $ \mathcal{P} $ の要素数は次のように求まる：

$$ |\mathcal{P}| = \frac{1}{2} \binom{8}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 35 $$

2. 代数的数 $ y_P $ の定義と well-defined 性

各分割 $ P = \{A, B\} \in \mathcal{P} $ に対して、代数的数 $ y_P $ を以下のように定義する：

$$ y_P = \left( \sum_{i \in A} \alpha_i - \sum_{j \in B} \alpha_j \right)^2 $$

命題 1 （$ y_P $ の well-defined 性）

$ y_P $ の値は、$ A $ と $ B $ の選択順序に依存せず一意に定まる。

証明： $ A $ と $ B $ の役割を入れ替えた場合、差の和は $ \sum_{j \in B} \alpha_j - \sum_{i \in A} \alpha_i = -\left( \sum_{i \in A} \alpha_i - \sum_{j \in B} \alpha_j \right) $ となり符号が反転する。しかし 2 乗することにより $ (-1)^2 = 1 $ となるため、値は完全に一致する。さらに、$ \sum_{i=1}^8 \alpha_i = 1 $ （$ f(x) $ の $ x^7 $ の係数の $-1$ 倍）であるから、

$$ \sum_{i \in A} \alpha_i - \sum_{j \in B} \alpha_j = \sum_{i \in A} \alpha_i - \left( 1 - \sum_{i \in A} \alpha_i \right) = 2 \sum_{i \in A} \alpha_i - 1 $$

と書け、$ y_P = \left( 2 \sum_{i \in A} \alpha_i - 1 \right)^2 $ として $ A $ のみの関数としても定まる。 $ \blacksquare $

3. 分割リゾルベント多項式 $ R(Y) $ の構成

これら 35 個の値 $ \{y_P\}_{P \in \mathcal{P}} $ を根とする 35 次の分割リゾルベント多項式 (partition resolvent polynomial) を定義する：

$$ R(Y) = \prod_{P \in \mathcal{P}} (Y - y_P) $$

$ G = \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q}) $ の任意の元は $ \Omega $ 上の置換として作用するため、集合 $ \mathcal{P} $ および根の多項式 $ y_P $ の集合全体を不変に保つ。ゆえに $ R(Y) $ の係数は根の基本対称式となり、$ R(Y) \in \mathbb{Q}[Y] $ である。

4. Newton の等式による $ R(Y) $ の正確な計算

$ R(Y) $ の係数を厳密に決定するため、以下の手順で計算を進める。

  1. 元の根の冪和の計算： $ s_k = \sum_{i=1}^8 \alpha_i^k $ を Newton の等式 $ s_k + a_1 s_{k-1} + \dots + k a_k = 0 $ より計算する。
  2. 4 元部分集合和の冪和の計算： 大きさ 4 の部分集合 $ A \subset \Omega $ に対する和 $ S_A = \sum_{i \in A} \alpha_i $ （全 70 個）の冪和 $ \sigma_k = \sum_{|A|=4} S_A^k $ を求める。
  3. リゾルベント根の冪和 $ T_k $ の計算：$ y_P = (2S_A - 1)^2 $ より、$ T_k = \sum_{P \in \mathcal{P}} y_P^k = \frac{1}{2} \sum_{|A|=4} (2S_A - 1)^{2k} $ と表される。二項展開を用いて $ T_k $ を算出する。

5. 平方フリー性と Hensel の持ち上げによる因数分解

完全分解素数 $ p = 12589 $ を用いて $ R(Y) \pmod{12589} $ を計算すると、35 個の根はすべて相異なる。したがって $ R(Y) $ は $ \mathbb{Q}[Y] $ 上で重根を持たない (squarefree)。

素数 $ p = 11 $ において、$ R(Y) \pmod{11} $ は 14 次の既約因子と 21 次の既約因子の積に分解する。Hensel の持ち上げ (Hensel lifting) を用いて、この分解を $ \mathbb{Z}/11^k \mathbb{Z}[Y] $ 上で $ 11^{10} = 25937424601 $ を法とする精度まで持ち上げることで、$ \mathbb{Q}[Y] $ 上での厳密な既約分解が次のように確定する：

$$ R(Y) = R_{14}(Y) R_{21}(Y) $$

ここで $ \deg(R_{14}) = 14 $、 $ \deg(R_{21}) = 21 $ である。

6. $ R_{14}(Y) $ と $ R_{21}(Y) $ の具体形について

$35$ 次の分割リゾルベント $ R(Y) $ は、 $ \mathbb{Z}[Y] $ 上で $ 14 $ 次多項式 $ R_{14}(Y) $ と $ 21 $ 次多項式 $ R_{21}(Y) $ に因数分解される。これら多項式の真の整数係数は、素数 $ p=11 $ での分解を初期値とし、 Hensel の補題 (Hensel's lemma) を用いて $ 11^{10} = 25937424601 $ を法とする精度まで持ち上げることで一意に確定する。

真の整数係数は非常に巨大になるため資料内では有理整数環上の完全な展開形は省略されているが、$ 11 $ を法とする剰余環 $ \mathbb{F}_{11}[Y] $ 上での具体形は以下のように与えられている。

$ R_{14}(Y) \pmod{11} $ の具体形：

$$ Y^{14} + 2Y^{13} + 5Y^{12} + 5Y^{11} + 8Y^{10} + 6Y^9 + 8Y^8 + 10Y^7 + 2Y^6 + 9Y^5 + 5Y^4 + 3Y^2 + 8Y + 5 $$

$ R_{21}(Y) \pmod{11} $ の具体形：

$$ Y^{21} + 6Y^{20} + 3Y^{19} + 7Y^{18} + 3Y^{17} + 6Y^{16} + 7Y^{15} + 3Y^{14} + Y^{13} + 6Y^{12} + 2Y^{11} + 5Y^{10} + 2Y^9 + 4Y^8 + Y^7 + 2Y^6 + 9Y^5 + 5Y^4 + 3Y^3 + 8Y^2 + 10Y + 5 $$

これにより、$ R_{14}(Y) $ が等調和リゾルベント因子 (equianharmonic resolvent factor) であり、$ R_{21}(Y) $ が相補的な調和因子 (complementary harmonic factor) に対応することが裏付けられる。

第 4 節：射影直線 $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_7)$ 上の幾何学構造と等調和 4 元集合

1. 射影直線 $ \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_7) $ と射影一次変換群 $ \mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_7) $

7 元体 $ \mathbb{F}_7 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} $ に無限遠点 $ \infty $ を付け加えた 8 元集合を射影直線 $ \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_7) = \{\infty, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} $ とする。

射影一次変換群 $ \mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_7) $ は、分数一次変換 (fractional linear transformation)

$$ z \mapsto \frac{a z + b}{c z + d} \quad (a, b, c, d \in \mathbb{F}_7, \ ad - bc \neq 0) $$

によって $ \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_7) $ に作用する。その位数は以下の通りである：

$$ |\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_7)| = \frac{(7^2 - 1)(7^2 - 7)}{7 - 1} = 8 \times 7 \times 6 = 336 $$

任意の相異なる 3 点の組は、一意的な分数一次変換により他の任意の相異なる 3 点の組に移されるため、この作用は鋭意 3 重推移的 (sharply 3-transitive) である。

2. 非調和比と等調和 4 元集合

$ \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_7) $ 上の相異なる 4 点 $ x_1, x_2, x_3, x_4 $ の非調和比 (cross ratio) を次で定義する：

$$ (x_1, x_2; x_3, x_4) = \frac{(x_1 - x_3)(x_2 - x_4)}{(x_1 - x_4)(x_2 - x_3)} $$

4 点の順序を置換するとき、非調和比がとる値の集合は $ \{\lambda, 1-\lambda, \frac{1}{\lambda}, \frac{1}{1-\lambda}, \frac{\lambda}{\lambda-1}, \frac{\lambda-1}{\lambda}\} $ である。

定義 5 （等調和な 4 元集合）

非調和比が二次方程式 $ \lambda^2 - \lambda + 1 = 0 $ を満たす 4 元集合 $ \{x_1, x_2, x_3, x_4\} $ を等調和 (equianharmonic) な 4 元集合と呼ぶ。

$ \mathbb{F}_7 $ において方程式 $ \lambda^2 - \lambda + 1 = 0 $ を解くと、$ 3^2 - 3 + 1 = 7 \equiv 0 $ および $ 5^2 - 5 + 1 = 21 \equiv 0 $ より、解は $ \lambda = 3, 5 $ である。

3. 等調和分割族 $ \mathcal{F}_{\mathrm{eq}} $ の計数

$ \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_7) $ 上の等調和な 4 元集合の総数は次のように求まる：

等調和な 4 元集合の補集合もまた等調和となるため、これらは 2 つずつペアを作り、全 14 個の $ 4+4 $ 分割からなる族 $ \mathcal{F}_{\mathrm{eq}} $ を形成する。

分数一次変換は非調和比を不変に保つため、次が成り立つ：

$$ \mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_7) \subset \mathrm{Stab}_{S_8}(\mathcal{F}_{\mathrm{eq}}) $$

第 5 節：不変分割族の同定と全安定化群の決定

本節では、「適切なラベル付けにより、多項式 $ R_{14}(Y) $ から定まる不変分割族 $ \mathcal{F} $ が、幾何学的に定まる等調和分割族 $ \mathcal{F}_{\mathrm{eq}} $ と一致する」ことの詳細な証明を解説します。

1. 代数的分割族 $ \mathcal{F} $ と幾何学的分割族 $ \mathcal{F}_{\mathrm{eq}} $ が一致することの証明

多項式 $ f(x) $ の最小分解体における Galois 群の作用と、射影直線 $ \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_7) $ 上の幾何学を直接結びつけるために、$ f(x) $ が完全分解する素数での Frobenius 自己同型 (Frobenius automorphism) の性質を利用する。

(i) 完全分解する素数上での根の評価と $ \mathcal{F} $ の決定

素数 $ p = 12589 $ を法として、多項式 $ f(x) $ は $ 8 $ つの相異なる $ 1 $ 次式に完全分解する。その $ 8 $ 個の根を $ r_0, r_1, \dots, r_7 \in \mathbb{F}_{12589} $ とおき、以下のようにラベル付けする：

$ r_0 = 243, \quad r_1 = 709, \quad r_2 = 3477, \quad r_3 = 6211, $
$ r_4 = 9478, \quad r_5 = 9677, \quad r_6 = 10005, \quad r_7 = 10557 $

これらの根の和は $ \sum r_i \equiv 1 \pmod{12589} $ を満たす。根の集合の大きさ $ 4 $ の順序付けられていない $ 2 $ 分割 $ P = \{A, B\} $ に対し、分割リゾルベントの根は $ y_P = \left( \sum_{i \in A} r_i - \sum_{j \in B} r_j \right)^2 \pmod{12589} $ によって計算される。これら $ 35 $ 個の値は全て互いに異なる値をとる。$ \mathbb{Q} $ 上の $ 14 $ 次既約因子である $ R_{14}(Y) $ を $ 12589 $ を法として評価し、その根に対応する $ 14 $ 個の分割を特定することで、$ \mathcal{F} $ に属する分割を具体的に書き下すことができる。

(ii) 適切なラベルの付け替え

前段で特定された $ 14 $ 個の分割族 $ \mathcal{F} $ を、幾何学的な対象と同一視するために根のラベルの付け替えを行う。

この変換を適用し、各分割を「$ \infty $ を含む側の $ 4 $ 元集合」によって代表させると、$ \mathcal{F} $ は以下の $ 14 $ 個の順序付けられていない $ 2 $ 分割からなる族となる：

$ \{\infty, 0, 1, 3\} $
$ \{\infty, 0, 1, 5\} $
$ \{\infty, 0, 2, 6\} $
$ \{\infty, 0, 3, 4\} $
$ \{\infty, 0, 4, 5\} $
$ \{\infty, 0, 2, 5\} $
$ \{\infty, 1, 2, 4\} $
$ \{\infty, 1, 3, 6\} $
$ \{\infty, 1, 5, 6\} $
$ \{\infty, 1, 2, 3\} $
$ \{\infty, 2, 3, 5\} $
$ \{\infty, 2, 4, 6\} $
$ \{\infty, 3, 4, 6\} $
$ \{\infty, 4, 5, 6\} $

(iii) 等調和 $ 4 $ 元集合族 $ \mathcal{F}_{\mathrm{eq}} $ との完全一致

射影直線 $ \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_7) $ 上において、相異なる $ 4 $ 点の非調和比 (cross ratio) が二次方程式 $ \lambda^2 - \lambda + 1 = 0 $ を満たすとき、その $ 4 $ 元集合を等調和 (equianharmonic) と呼ぶ。$ \mathbb{F}_7 $ においてこの方程式の解は $ \lambda = 3 $ および $ \lambda = 5 $ である。例えば、前述の分割の $ 1 $ つである $ \{\infty, 0, 1, 3\} $ の非調和比を計算すると以下のようになる：

$$ (\infty, 0; 1, 3) = \frac{(\infty - 1)(0 - 3)}{(\infty - 3)(0 - 1)} = \frac{1 \cdot (-3)}{1 \cdot (-1)} = 3 $$

したがって、この集合は等調和である。$ \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_7) $ 上の等調和な $ 4 $ 元集合は全部で $ 28 $ 個存在し、それぞれが補集合のペアとしてまとまることで、正確に $ 14 $ 個の分割 $ \mathcal{F}_{\mathrm{eq}} $ を形成する。代数的に定まった $ \mathcal{F} $ の $ 14 $ 個の分割リストと、幾何学的に定まる等調和な $ 14 $ 個の分割リストを比較すると、これらは集合として完全に一致する。ゆえに、$ \mathcal{F} = \mathcal{F}_{\mathrm{eq}} $ が証明された。$ \blacksquare $

2. 安定化部分群 $ \mathrm{Stab}_{S_8}(\mathcal{F}_{\mathrm{eq}}) = \mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_7) $ の厳密証明

定理 2 （全安定化群の同定）

$ H = \mathrm{Stab}_{S_8}(\mathcal{F}_{\mathrm{eq}}) $ とおく。このとき $ H = \mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_7) $ である。

証明： すでに $ \mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_7) \subset H $ であることがわかっているため、$ |H| \le 336 $ を示せば十分である。

$ H $ の元のうち、3 点 $ \infty, 0, 1 $ を各点固定する部分群を $ H_{\infty, 0, 1} $ とする。任意に $ \sigma \in H_{\infty, 0, 1} $ をとる。$ \sigma $ は $ \infty, 0, 1 $ を固定し、分割族 $ \mathcal{F}_{\mathrm{eq}} $ 全体を保つ。

リストの中で $ \{\infty, 0, 1\} $ を含む 4 元集合は、$ \{\infty, 0, 1, 3\} $ と $ \{\infty, 0, 1, 5\} $ の 2 つのみである。$ \sigma $ は $ \infty, 0, 1 $ を固定するため、この 2 集合の組を保つ必要がある。したがって、$ \sigma(\{3, 5\}) = \{3, 5\} $ が成り立つ。

次に、残りの元 $ \{2, 4, 6\} $ の挙動を決定するため、以下の 3 つの分割における $ \infty $ 側集合への所属関係を表す指標ベクトル $ (\mathbf{1}_{P_1}(x), \mathbf{1}_{P_2}(x), \mathbf{1}_{P_3}(x)) $ を定義する：

  • 分割 $ P_1 $: $ \{\infty, 0, 2, 6\} \cup \{1, 3, 4, 5\} $
  • 分割 $ P_2 $: $ \{\infty, 1, 2, 4\} \cup \{0, 3, 5, 6\} $
  • 分割 $ P_3 $: $ \{\infty, 3, 4, 6\} \cup \{0, 1, 2, 5\} $

$ \sigma $ は $ \infty, 0, 1 $ を固定するため、これら 3 つの分割の $ \infty $ を含む側の集合をそれぞれ集合として保つ。各点 $ x \in \{2, 4, 6\} $ について所属関係を調べると：

元 $ x $ $ \{\infty, 0, 2, 6\} $ $ \{\infty, 1, 2, 4\} $ $ \{\infty, 3, 4, 6\} $ 指標ベクトル
$ x = 2 $属する (1)属する (1)属さない (0)$ (1, 1, 0) $
$ x = 4 $属さない (0)属する (1)属する (1)$ (0, 1, 1) $
$ x = 6 $属する (1)属さない (0)属する (1)$ (1, 0, 1) $

これら 3 つの指標ベクトル $ (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1) $ はすべて相異なる。$ \sigma $ は指標を不変に保つため、$ 2, 4, 6 $ の置換を起こすことができず、

$$ \sigma(2) = 2, \quad \sigma(4) = 4, \quad \sigma(6) = 6 $$

が得られる。

最後に $ \{3, 5\} $ について、集合 $ \{\infty, 1, 2, 3\} $ を考える。$ 3 $ はこの集合に属するが、$ 5 $ は属さない。$ \sigma $ は $ \infty, 1, 2 $ を固定するため、この集合を固定する。ゆえに $ \sigma(3) = 3 $ かつ $ \sigma(5) = 5 $ でなければならない。

以上より、$ \sigma $ は $ \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_7) $ の全 8 点を固定するため、$ H_{\infty, 0, 1} = \{\mathrm{id}\} $ である。

軌道・安定化群定理より、

$$ |H| = |\mathrm{Orb}_H(\infty)| \cdot |\mathrm{Orb}_H(0)| \cdot |\mathrm{Orb}_H(1)| \cdot |H_{\infty, 0, 1}| \le 8 \times 7 \times 6 \times 1 = 336 $$

$ \mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_7) \subset H $ かつ $ |\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_7)| = 336 $ であったから、$ H = \mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_7) $ である。 $ \blacksquare $

第 6 節：証明の完結

主定理 （Galois 群の同定）

多項式 $ f(x) = x^8 - x^7 + 3x^6 - 3x^5 + 2x^4 - 2x^3 + 5x^2 + 5x + 1 $ の Galois 群 $ G = \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q}) $ について、次が成り立つ：

$$ \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q}) \cong \mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_7) $$

完全な証明：

第 3 節および第 5 節より、Galois 群 $ G $ は 14 個の分割族 $ \mathcal{F} = \mathcal{F}_{\mathrm{eq}} $ を不変に保つため、全安定化群に含まれる：

$$ G \subset \mathrm{Stab}_{S_8}(\mathcal{F}_{\mathrm{eq}}) = \mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_7) $$

集合の包含関係より、群の位数の包含関係 $ |G| \le |\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_7)| = 336 $ が従う。

一方、第 2 節より $ G $ は 3 重推移的であり、軌道・安定化群定理から $ |G| $ は 336 の倍数であって、特に

$$ |G| \ge 336 $$

が成り立っている。

両側の不等式を組み合わせることにより、$ |G| = 336 $ が一意に確定する。包含関係 $ G \subset \mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_7) $ と位数の完全一致より、

$$ \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q}) = \mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_7) $$

が示された。 $ \blacksquare $

第 7 節：参考文献

本解説および証明の構成にあたり参照した学術文献およびオンラインデータベースのリストを以下に示す。

  1. J. W. P. Hirschfeld, Projective Geometries Over Finite Fields, 2nd edition, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, 1998.
  2. J. König, The Inverse Galois Problem with Local Restrictions, KAIST Lecture Notes, 2019.
  3. OEIS Foundation Inc., The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, Sequence A124901: Smallest order of any nonsolvable transitive Galois group for a polynomial of degree n.
  4. Osaka University Knowledge Archive (OUKA), Polynomials with Galois group PGL(2, 7) and unramified extensions, Osaka Journal of Mathematics.
  5. arXiv Repository, Ramification in the Inverse Galois Problem, arXiv:1905.01363 [math.NT].